"InvariantesP" <-
function (UeMat=UeMatFahrzeuge(0.4),epsilon=0.00001,M=100,N=100) 
{
# Bestimmt die invariante Verteilung der
# Markovkette gegen durch die Uebergangsmatrix UeMat
# 1. durch Approximation mit maximal M Schritten und
#    Genauigkeit epsilon
# 2. exakt über Bestiimung des Eigenvektors zum Eigenwert 1
# 3. durch Simulation der Markovkette über N Perioden
k<-ncol(UeMat)
par(mfrow=c(1,3))
# Approximation der invarianten Verteilung
p<-rep(1,k)/k
p1<-UeMat%*%p
m<-1
while(sum((p-p1)^2)>epsilon & m<M){
    p<-p1
    p1<-UeMat%*%p1
    m<-m+1
}
cat("Anzahl der Durchlaeufe bis Abbruch: ",m,"\n")
p1<-as.vector(p1)
names(p1)<-as.character(((1:k)-1))
barplot(p1,main="Approx.  invariante Verteilung")
# Berechnung der exakten invarianten Verteilung
Qeigen<-eigen(UeMat)
q<- eigen(UeMat)$vectors[,Qeigen$values<=1+epsilon & Qeigen$values>=1-epsilon]
q<-q/sum(q)
names(q)<-as.character(((1:k)-1))
barplot(q,main="Invariante Verteilung")
# Simulation der invarianten Verteilung
r<-table(MarkovKette(UeMat,N))/N
barplot(r,main="Simulierte invariante Verteilung")
list(Approximiert=p1,Exakt=q,Simuliert=r)
}